Les FRACTALES

L'idée de fractale est apparue comme une idée de symétrie entre les grandes et les petites échelles. C'est par la naissance d'une forme d'ordre inattendu, entre les variations des fluctuations des petites échelles et celles des grandes, qu'elle prit d'abord naissance. Considérées généralement comme du bruit parasite indésirable, ces fluctuations aux petites échelles se sont vues soudain investies d'une dimension et d'un sens tout à fait nouveaux et considérables : ceux d'expliquer les variations aux grandes. Aussi étonnant que cela puisse paraître, ces variations, petites ou grandes, semblaient suivre la même loi d'évolution cyclique dans le temps.

C'est à Benoît Mandelbrot que l'on doit d'avoir découvert ces correspondances, puis d'avoir mis à jour et approfondi ce concept d'invariance d'échelle. Libre chercheur chez IBM et géomètre de génie, il constata avec surprise ce phénomène en comparant à l'aide des premiers ordinateurs la topologie de courbes de distribution. Que ce soit celle des revenus ou celle de l'évolution des cours en bourse du coton, ces variations graphiques dans les distributions présentaient d'étranges similitudes.

Elles correspondaient à deux types différents d'effet que Mandelbrot appela effet Noé et effet Joseph.

Cette idée d'invariance d'échelle, incongrue et choquante au début, s'est imposée progressivement pour acquérir aujourd'hui un statut géométrique à part entière. Un nouveau paradigme venait de naître.

Car, en effet, cette idée bouleverse quelque peu la géométrie euclidienne et deux mille ans de certitude. "Les nuages ne sont pas des sphères" aime à dire Mandelbrot, les montagnes ne sont pas des cônes, les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite. Cette nouvelle géométrie donne de l'univers une image anguleuse et non arrondie, rugueuse et non lisse : c'est une géométrie du grêlé, du criblé, du disloqué, du tordu, de l'enchevêtré, de l'entrelacé.

Pour comprendre la complexité de la nature, il fallait soupçonner que cette complexité n'était pas seulement un hasard, un accident. Il fallait avoir la conviction que la caractéristique intéressante dans la trajectoire d'un éclair, par exemple, n'était pas sa direction, mais la répartition de ses "zigs" et de ses "zags", et que tout cela avait un sens.

Mandelbrot montra dans un célèbre article "Combien mesure la côte de la Bretagne ?" que cette estimation dépend de l'instrument de mesure utilisé, donc de la finesse de l'observation, et en définitive, de l'observateur. Plus on descend dans le détail, le détail du détail, le détail du détail du détail, etc..., plus la longueur de la mesure de cette côte augmente. A l'échelle microscopique, elle devient quasiment infinie, et à l'échelle atomique on peut se poser légitimement la question de la validité du procédé de mesure !

Ici resurgit le paradoxe du fini qui contient le non fini, l'in-fini et donc l'infini, et que traduit l'indécidabilité formelle de la mesure. La mesure et le mesureur participent activement du phénomène observé et le modifie. La mesure est en effet très sensible à l'instrument avec lequel elle est faite. Nous voyons réapparaître en filigrane la notion d'indécidabilité, dont nous avons vu plusieurs fois déjà qu'elle exprime une catégorie logique particulière, ni vraie, ni fausse, mais simplement indécidable !

Le bon sens et notre perception nous disent pourtant que la côte de Bretagne n'est pas infinie, ni même indéfinie. Cela se saurait ! Et nos cartes routières arrivent bien à l'exprimer sur une page ! Et pourtant... Si l'on part d'une image satellite de la côte de la Bretagne (ou simulée plus simplement sur ordinateur), et que l'on zoom successivement, disons d'un facteur cent, sur un détail, puis un détail du détail, et encore ainsi, ad libitum ... on a de grandes chances de retrouver des formes identiques quelques zooms plus loin. Il est difficile alors de savoir où l'on est précisément, et à quelle échelle de grossissement l'on se trouve, tant les formes rencontrées sont semblables et récurrentes. On plonge alors dans un puits sans fond aux formes répétitives dans lequel on se perd facilement. Les aviateurs le savent d'ailleurs fort bien bien et évitent du mieux qu'ils peuvent les nuages, car leurs repères et leur sens de la perspective disparaissent complètement, leur empêchant toute appréciation correcte des distances.

Une autre approche, plus mathématique et conceptuelle, de cette loi d'invariance d'échelle est celle des dimensions. Les dimensions classiques : longueur, largeur et profondeur déterminent et définissent des formes simples, le cube, la sphère, etc... Mandelbrot se détourna de ces dimensions trop simples pour cette apparente impossibilité : les dimensions fractionnaires. Cette notion est un acte conceptuel de haute voltige. Elle exige de la part des non mathématiciens un renoncement volontaire à l'incrédulité. Pourtant elle s'avère extrêmement puissante.

Une dimension fractionnaire permet de mesurer des qualités qui autrement n'auraient pas de définition claire : le degré de rugosité, de fragmentation, d'irrégularité d'un objet. Une côte sinueuse par exemple, en dépit de son incommensurabilité en terme de longueur, possède cependant un certain degré de rugosité caractéristique. Mandelbrot donna des méthodes pour calculer la dimension fractionnaire des objets réels en fonction de certaines données ou d'un procédé de construction de forme, et sa géométrie lui permit d'énoncer une affirmation sur les motifs irréguliers qu'il avait étudiés dans la nature : le degré d'irrégularité reste constant sur différentes échelles. Aussi surprenant que cela paraisse, cette affirmation est vraie. A maintes reprises, le monde présente une irrégularité régulière.

La figure en annexe de la courbe de Koch, du nom du mathématicien suédois qui l'a inventée en 1904, illustre parfaitement ce propos. Cette courbe est infiniment longue, aussi longue qu'une droite euclidienne qui s'étendrait jusqu'aux limites d'un univers sans borne. Ce résultat paradoxal d'une longueur infinie contenue dans un espace fini perturba de nombreux mathématiciens du début du XXième siècle. La courbe de Koch était un monstre irrespectueux de toute intuition raisonnable sur les formes, pathologiquement différent de tout ce qu'on pouvait rencontrer dans la nature.

 Nous voyons que la longueur de cette courbe suit une loi de progression géométrique, puisqu'à chaque itération, le résultat obtenu est multiplié par 4/3. La dimension fractionnaire ainsi obtenue est égale à 1,2618. Elle est davantage qu'une courbe, sans être vraiment un plan, car sa dimension est supérieure à 1 mais reste inférieure à 2 !

Le tapis de Sierpinski et l'éponge de Menger, présentés en annexe, sont d'autres exemples du même ordre. On peut penser en les voyant à la structure de la Tour Eiffel, ramifiée en un réseau de poutrelles de plus en plus fines. C'est une bonne approximation tridimensionnelle.

A partir de cette dimension fractionnaire, Mandelbrot inventa le terme de fractale, contraction de fracture (du latin frangere: briser) et de fraction. Une figure fractale est avant tout une figure invariante d'échelle. L'invariance d'échelle est une symétrie qui se retrouve à toutes les échelles. Elle implique la récurrence d'un motif à l'intérieur d'un motif. C'est une propriété facilement reconnaissable, dont on retrouve une illustration simple dans les réflexions infinies d'une personne se tenant entre deux miroirs, ou dans les poupées russes qui s'emboîtent les unes dans les autres, mais cet exemple n'est qu'une analogie grossière ; on s'arrête bien avant l'infini.

La géométrie fractale semble bien être celle de la nature, ou tout au moins, d'une partie.

Certaines formes comme l'organisation des squelettes des animaux ne peuvent être de nature fractale car elles sont directement liées à la gravité. Elles sont donc spécifiques d'une échelle donnée. On retrouve cependant cette invariance d'échelle dans de nombreux domaines naturels, comme par exemple la physique des tremblements de terre - un petit a les mêmes caractéristiques qu'un grand -, ou encore dans l'organisation arborescente des nuages, des flocons de neige, des chaînes de montagnes, des côtes maritimes, des arbres ; en physiologie dans celle des vaisseaux sanguins, des alvéoles pulmonaires; en astronomie dans l'organisation des galaxies et des nuages interstellaires, etc...

On peut alors se poser cette question : comment la nature est-elle parvenue à élaborer une architecture aussi compliquée ? Selon Mandelbrot les ramifications de ces objets fractals admettent une description d'une simplicité évidente, ne nécessitant que très peu d'informations. Si l'ADN est certainement incapable de renfermer les plans de l'immense multitude des bronches, bronchioles, alvéoles, ou de la structure spatiale particulière de l'arbre résultant de leur association, il pourrait fixer les règles d'un processus simple et itératif de bifurcations et de croissance. Ce serait là un principe universel de morphogenèse (hologrammatique ?). Cela a naturellement ouvert une voie de recherche, et la compréhension de l'encodage et de la réalisation de telles structures constitue désormais un défi majeur pour la biologie.

Conclusion

La puissance de l'invariance d'échelle se manifeste à des niveaux de complexité élevés. Il s'agit donc de l'appréhender globalement en mettant en perspective deux choses : d'une part, la très grande simplicité des lois de progression géométrique qui l'encode et la génère - l'ADN par exemple est constitué uniquement de quatre acides aminés de base - d'autre part, l'extraordinaire complication des enchevêtrements et ramifications qui en résulte.

Une harmonie étrange et fascinante émerge de ce mariage de l'ordre et du désordre des formes fractales. Répétons le, cette géométrie du complexe simple dans son principe, compliquée dans ses résultats, et qui participe activement des deux, est paradoxale dans son essence : elle garde dans son infinitude la liberté de son secret.

L'ensemble de Mandelbrot

Préambule sur les nombres complexes

Pour introduire l'ensemble de Mandelbrot dans notre propos, voici un bref rappel de mathématiques élémentaires. Nous savons tous que tous les nombres sont ou positifs, ou négatifs, ou égaux à zéro. Par conséquent, tout nombre qui n'est ni positif, ni égal à zéro est nécessairement négatif, et tout nombre qui n'est ni négatif ni égal à zéro est nécessairement positif.

Maintenant, qu'en est-il de cette équation apparemment inoffensive: x2 + 1 = 0 ? Si l'on transpose le 1 de l'autre coté de l'équation, on obtient: x2 = -1 , puis: x = √ - 1

Mais, dans un monde conceptuel construit de façon à ce que tout nombre soit ou positif, ou négatif, ou égal à zéro, ce résultat est inimaginable. Car, quel nombre, multiplié par lui même (élevé au carré) pourrait donner -1 ?

En tout cas, imaginable ou pas, les mathématiciens, physiciens et ingénieurs ont néanmoins depuis longtemps, nonchalamment accepté la racine carrée de -1 et lui ont assigné le symbole i signifiant imaginaire. Ils l'ont incluse dans leurs calculs, au même titre que les trois catégories de nombres (positifs, négatifs et égaux à zéro), et ont obtenu à partir d'elle des résultats pratiques, concrets et parfaitement imaginables.

Mais, pour notre mode de penser, le nombre imaginaire i est d'une fantastique irréalité. C'est précisément ce que l'élève Törless exprime à sa façon, dans le roman de Robert Musil "Les désarrois de l'élève Törless" page 126. Pour la première fois confronté aux énigmatiques propriétés de i , Törless dit à un de ses camarades de classe :

"Ecoute-moi bien, au début de tout calcul de ce genre, on a des chiffres parfaitement solides qui peuvent symboliser des mètres, des poids ou tout ce que l'on voudra de concret. C'est de semblables chiffres que l'on retrouve à la fin de l'opération. Mais ces derniers chiffres sont reliés aux premiers par quelque chose qui n'existe pas ! Ne dirait-on pas un pont qui n'aurait que ses piles extrêmes et que l'on ne franchirait pas moins tranquillement comme s'il était entier ? Pour moi, ce genre de calcul a quelque chose de vertigineux ; comme si, à un moment donné, il conduisait Dieu sait où ? Mais, le plus mystérieux à mes yeux, c'est encore la force cachée dans une telle opération et qui vous maintient d'une main si ferme que vous finissez quand même par aborder sur l'autre rive."

Le nombre i n'est donc pas réel, mais élevé au carré, il le redevient ! Il laisse donc à chacun la totale liberté d'imaginer ce qu'il peut être ou ne pas être.

Venons en maintenant à l'ensemble de MANDELBROT

Voici le programme permettant à partir d'un calcul itératif sur les nombres complexes, de dessiner cet ensemble sous forme d'une image fractale, maintenant bien connue de tout possesseur de micro-ordinateur.

Le programme qui permet de construire l'ensemble de MANDELBROT ne comprend essentiellement que quelques instructions (simplicité extrême des règles). Le mécanisme principal est en effet constitué par une boucle qui définit le nombre complexe de départ et lui applique la règle de calcul suivante : Z ==> Z2 + C où Z commence à zéro et C est le nombre complexe correspondant au point à tester. Donc prenez 0, multipliez le par lui même et additionnez le nombre de départ; prenez le résultat - le nombre de départ -, multipliez le par lui même et additionnez le nombre de départ; prenez ce nouveau résultat, multipliez le par lui même et additionnez le nombre de départ, etc...

L'arithmétique des nombre complexes est immédiate. Un nombre complexe s'écrit en deux parties : par exemple, 2 + 3i (c'est la position du point situé à 2 vers l'est et à 3 vers le nord dans le plan complexe). Pour additionner deux nombres complexes, il suffit d'additionner entre elles leurs parties réelles et leurs parties imaginaires :

     2 + 4i
  + 9 - 2i
-------------
= 11 + 2i

Pour multiplier deux nombres complexes, vous multipliez chaque partie de l'un par chaque partie de l'autre puis vous additionnez les quatre résultats obtenus. Comme, par définition des nombres complexes, i multiplié par lui même est égal à -1, deux termes du résultat se combineront entre eux.

          2 + 3i
       x 2 + 3i
-----------------
         6i + 9i2
   4 + 6i
-----------------
= 4 + 12i + 9i2
= 4 + 12i - 9
= - 5 + 12i

Pour sortir de cette boucle, le programme surveille le résultat de chaque itération: s'il s'éloigne vers l'infini, de plus en plus loin sur l'origine du plan, le point initial n'appartient pas à l'ensemble de MANDELBROT - c'est le cas si la partie réelle ou imaginaire du résultat courant est supérieure à 2 ou inférieure à - 2, et le programme peut alors passer à un autre point initial. Si, en revanche, le programme effectue ses itérations sans que le résultat intermédiaire soit supérieur à 2, le point initial appartient alors à l'ensemble de MANDELBROT. Le nombre de ces itérations dépend du grossissement. Pour une échelle accessible à un ordinateur personnel, 100 ou 200 est souvent suffisant, et 1000 offre une bonne sécurité.

Le programme doit répéter ce processus pour chacun des milliers de points d'un maillage, sur une échelle ajustable en fonction du grossissement. Il doit également afficher le résultat sur l'écran. On peut colorer en noir les points de l'ensemble, et en blanc les autres points. On peut aussi, pour rendre l'image plus attrayante, remplacer les points blancs par une gradation de couleurs. Si l'itération s'arrête au bout de, par exemple, dix répétitions, le programme affiche un point rouge; pour vingt répétitions, il affiche un point orange; pour quarante répétitions, un point jaune, et ainsi de suite. Le choix des couleurs et du nombre maximal d'itérations peut être adapté aux goûts du programmeur. Ces couleurs révèlent la topographie du terrain à l'extérieur de l'ensemble proprement dit.

L'image ci-dessous obtenue avec l'excellent programme "FracZoom Explorer" (hélas disparu car sous MS/DOS) représente l'agrandissement d'un détail de l'ensemble de Mandelbrot. A noter la symétrie presque parfaite des huit bras tentaculaire de la "pieuvre" ainsi formée. Les points de complexité apparaissent en vert sur l'image à l'intérieur des bras. La forme originelle de l'ensemble ressurgit régulièrement lors de l'agrandissement de certains d'entre eux.


Image FracZoom Explorer

 

Annexes

La courbe de Koch


Courbe de Koch


D'une manière imagée, une fractale est un moyen de voir l'infini. Imaginez un triangle équilatéral de 30 centimètres de côté. Imaginez maintenant la transformation suivante, construite à partir d' un ensemble de règles particulières, bien définies, que l'on peut itérer facilement : prenez le tiers central de chacun des côtés, et accolez-lui un nouveau triangle, de forme identique mais de dimensions trois fois plus petites. On obtient une étoile de David. Au lieu des trois segments de 30 centimètres, le contour de la figure résultante se compose de douze segments de 10 centimètres, et comprend six sommets au lieu de trois.

Prenez maintenant chacun des douze côtés et répétez l'opération, en fixant un triangle plus petit sur leur tiers central, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Le contour contient de plus en plus de détails. Il ressemble à un flocon de neige idéalisé : c'est la courbe de Koch, d'après Helge van Koch, un mathématicien suédois qui fut le premier à la décrire en 1904.

La courbe de Koch ressemble aussi à "un modèle grossier mais tout à fait suffisant de côte maritime", selon Benoît Mandelbrot. Si le triangle de départ a des côtés égal à 1, soit un périmètre de 3, le fait de rajouter à chaque fois au milieu de chaque côté un triangle de côté égal à 1/3 multiple l'ensemble par 4/3. On a donc au final : 3 x 4/3 x 4/3 x 4/3 ... c'est-à-dire l'infini ! Pourtant l'aire de la figure résultante reste inférieure à celle du cercle circonscrit au triangle initial. On a donc une courbe de longueur infinie entourant une surface finie.

Le tapis de Sierpinski et l'éponge de Menger


Eponge de Menger


Construire avec des trous : Au début du XXième siècle, quelques mathématiciens conçurent des objets apparemment monstrueux en ajoutant ou en enlevant une infinité d'éléments. L'un de ces objets est le tapis de Sierpinski, construit en découpant en son centre le neuvième de son aire, puis en découpant les centres des huit petits carrés restants, et ainsi de suite. L'analogue tridimensionnel est l'éponge de Menger, un réseau dont l'aire est infinie, mais dont le volume vaut zéro.

 

vignette photo

François TERRIN